室外機のファンが止まってしまいます。 スイッチを入れて１５秒くらいは回りますがそのあと内部で小さなスイッチ音のような音が聞こえ、ゆっくり止まってしまいます。（室内機は動いたままです。）
ファンが止まるという事は、コンプレッサーも動いていないのですね
推測ですが、エアコンのスイッチを入れ、室外機のファンが回りだします。
次に小さなスイッチオン（リレーの動作音）が発生してコンプレッサーを動かそうとするのですが、何か障害が在ってファンも止めてしまうものと思います。
この場合、室外機の基盤やパワートランジスタの故障の可能性が一番高いと思います。メーカー等によって価格は異なりますが、通常修理代は2万円前後掛かる事が多い様です。